Алгоритмы перевода в десятичную систему счисления

 

Алгоритм 1

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, надо разложить его по базису р-ичной системы счисления и произвести вычисления.

Например, переведем число 10112 в десятичную систему счисления. Для этого представим число в развернутой форме (разложим по базису двоичной системы счисления) и произведем вычисления в десятичной системе.

10112 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,748 в десятичную систему счисления.

52,748 = 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 42,937510  

 

 Алгоритм 2  Перевод чисел в десятичную систему счисления по схеме Горнера

Предлагаемый метод удобен, если необходимо составить компьютерную программу перевода. Общую формулу целого числа

Aq=an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+am-1qm-1+amqm

можно упростить за счёт избавления от степеней.

Преобразованный вид формулы       Aq=((an-1q+an-2)q+...+a1)q+a0      удобен для разработки программы по переводу чисел в десятичную систему счисления и носит название схемы Горнера.

 

Алгоритмы перевода целой и дробной частей числа отличаются друг от друга!

 

Алгоритм 3  Перевод целых чисел по схеме Горнера

1. Цифру старшего разряда числа Aq умножить на основание q . К полученному произведению прибавить цифру следующего разряда числа . 

2. Полученную сумму вновь следует умножить на q и вновь прибавить цифру следующего (более младшего) разряда числа.

3. Так поступать, пока не прибавится младшая цифра числа.

 

Пример. Перевести в десятичную систему счисления числа 2078 ; 101102 .

Решение

2078= (2*8+0 )*8+7 =135;

101102 = (((1*2+0)*2+1)*2+1)*2+0 = 22.

 

Алгоритм 4 Перевод правильных дробей по схеме Горнера

1. Цифру младшего разряда дроби 0,Aq разделить на основание q. К полученному частному прибавить цифру следующего (более старшего) разряда числа 0,Aq

2. Полученную сумму вновь следует разделить на q и вновь прибавить цифру следующего разряда числа.

3. Так поступать пока не прибавится цифра старшего разряда дроби. 

4. Полученную сумму ещё раз разделить на q и к результату слева приписать запятую и нуль целых.

 

 

Пример. Перевести в десятичную систему счисления дроби: а) 0,11012 ; б) 0,3568 . 

Решение

а) 1/ 2+0 = 0,5;     0,5 / 2+1=1, 25;     1, 25 / 2 +1 =1, 625;     1,625 / 2 = 0,8125. Результат     0,11012 = 0,8125

б) 6 /8+5 = 5,75;     5,75/ 8 + 3 = 3,71875;     3,71875 / 8 = 0,46484375 . Результат     0,3568 = 0,46484375 .

Коротко о главном:

• Один из способов перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную систему — разложить число по базису (записать число в развёрнутой форме) и выполнить вычисление выражения.

• При использовании вычислительных средств, например, калькулятора, для упрощения алгоритма перевода в программе развёрнутая форма записи числа преобразуется в схему Горнера. Алгоритмы перевода целой и дробной частей числа отличаются.