|
|
|
|
|
|
|
Позиционные системы счисления
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с помощью набора специальных символов. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и некоторые используются в наше время, можно разделить на позиционные и непозиционные.
Система счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Символы, используемые при записи чисел, называется цифрами, а их совокупность - алфавитом. Каждая цифра имеет определенное значение.
Позиционная система счисления — система, в которой значение числа, выражаемое цифрой, зависит от положения (от позиции) цифры в записи числа. Например, десятичное число 555. В нём первая цифра 5 означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Такие системы имеют более частое применение на практике.
Как только люди научились считать, они стали записывать числа. Каждый народ придумывал свои способы записи.
Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная. Некоторые племена на филиппинских островах используют ее и в наши дни, а в цивилизованных странах ее реликт, как считают специалисты, сохранился только в виде школьной пятибалльной шкалы оценок.
Следующей после пятеричной возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Некоторые учёные полагают, что такая система возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем.
Широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления в XIX веке. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.
Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки; 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук. Английский фунт состоит из 12 шиллингов.
Количество используемых цифр в алфавите системы счисления называется её основанием.
Всем известная десятичная система счисления имеет основание равное 10, а её алфавит составляют десять цифр: 0, 1, 2, …, 9. Ниже приведены примеры алфавитов некоторых позиционных систем.
Основание |
Название |
Алфавит |
n=10 |
десятичная |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
n=2 |
двоичная |
0 1 |
n=3 |
троичная |
0 1 2 |
n=8 |
восьмиричная |
0 1 2 3 4 5 6 7 |
n=16 |
шестнадцатиричная |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Для однозначности обозначения принято к десяти арабским цифрам добавлять буквы, если основание системы больше десяти, как например, в шестнадцатеричной системе счисления.
Для иллюстрации позиционного характера системы запись числа удобно представлять в развёрнутой поразрядно форме. Номер позиции (разряд) растёт влево от десятичной точки и уменьшается вправо, принимая отрицательные значения. Десятичное число в развёрнутой форме будет выглядеть следующим образом:
385,65 = 3*102+8*101+ 5*100 + 6*10-1 + 5*10-2.
Значение числа складывается из суммы произведений цифр, составляющих число, умноженных на основание системы в степени, обозначающей номер позиции этой цифры в числе. Последовательность степеней основания называют базисом системы счисления. Каждое из чисел базиса задаёт количественное значение, или «вес» соответствующего разряда.
Приведём примеры базисов некоторых позиционных систем счисления.
Десятичная система: ...102, 101, 100, 10-1, 10-2, ...
Восьмеричная система: ...82, 81, 80, 8-1, 8-2, ...
Двоичная система: ...22, 21, 20, 2-1, 2-2, ...
В общем случае любое число в позиционной системе счисления имеет вид:
Aq=an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+am-1qm-1+amqm
где Aq — само число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры данной системы счисления;
n — число разрядов целой части числа;
m — число разрядов дробной части числа;
...,q-2,q-1,q0,q1,q2,q3, … — базис системы счисления.
Пример. Разложить по базису системы счисления числа 101,012 ; 673,28 ; 15FC16 .
Решение
101,012 =1*22 + 0*21 +1*20 + 0*2-1 +1*2-2 ;
673,28 = 6*82 + 7*81 +3*80 + 2*8-1 ;
15FC16 = 1*163+ 5*162 + F*161 + C*160 .
Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения
(F=15; C=12), то 15FC16 =1*163 +5*162 +15*161 +12*160 .
В позиционных системах счисления основание системы определяет, во сколько раз различаются значения соседних разрядов.
Можно сделать вывод, что умножение или деление числа на основание системы счисления приведёт к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, вправо или влево соответственно.
Например:
536,1510*10 = 5361,5 ;
1001,112 /102 = 100,1112 ;
3423,01215*1005 = 342301,2155
5A129F0,C16/100016 = 5A12,9F0C16.
Алгоритмы перевода в десятичную систему счисления
Алгоритмы перевода из десятичной системы счисления
Родственные системы счисления
Двоичная арифметика |
|
|
| |