Двоичная арифметика

 

 

 

В логических схемах компьютера сравнительно просто и надежно реализуются два устойчивых состояния, для кодирования которых достаточно двух цифр - 0 и 1. Поэтому двоичная система счисления - "внутренний язык" компьютера. Рассмотрим, как производятся арифметические действия в двоичной системе счисления.

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам, что и в десятичной системе, с которыми мы хорошо знакомы.

СЛОЖЕНИЕ

Правила сложения двоичных чисел.

а) 0+0=0
б) 1+0=1
в) 0+1=1
г) 1+1=10
д) 1+1+1=(1+1)+1=10+1=11
Переход в следующий разряд в двоичной системе происходит, когда сумма чисел превышает 1.

Пример 4.
Сложить двоичные числа: 1010112 и 11012.
Запишем эти числа столбиком и проведем поразрядное сложение,.
  1010112
+
      11012
  ----------
  1110002
Как видите, сложение двоичных чисел происходит по обычным правилам сложения, отличие состоит в том, что переход в следующий разряд происходит при сумме чисел, превышающих 1, а не 9, как в привычной нам десятичной системе.  Рассмотрим процесс сложения двоичных чисел подробно.

Разряды чисел	5	4	3	2	1	0
Первое слагаемое	1	0	1	0	1	1
Второе слагаемое			1	1	0	1
Сумма	1	1	1	0	0	0

а) Начинаем сложение с нулевого разряда. 1+1=10. 0 остается в нулевом разряде, 1 переходит в старший (левый) разряд.

б) В первом разряде 1+0=1, но из младшего (правого) разряда пришла 1, поэтому складываются 3 числа: 1+0+1=10. 0 остается в первом разряде, 1 переходит во второй разряд.

в) Второй разряд. 0+1=1, +1 из первого разряда. 1+1=10, 0 остается во втором разряде, 1 - переходит в третий разряд.

г) Третий разряд. 1+1=10, +1 из второго разряда. 10+1=11. 1 остается в третьем разряде и 1 переходит в четвертый разряд.

д) В четвертом разряде имеется 0 от первого слагаемого, и 1 пришла из третьего разряда. 0+1=1. 1 записывается в четвертом разряде суммы.

е) В пятом разряде суммы записываем 1 от первого слагаемого.

 

ВЫЧИТАНИЕ

Правила вычитания двоичных чисел.

а) 0-0=0
б) 1-1=0
в) 1-0=1
г) 10-1=1

При переходе 1 из старшего (левого) разряда в младший (правый) разряд, в нем образуется две единицы.

Пример 5.
Найти разность двоичных чисел: 1010112 и 11012.
Запишем эти числа столбиком и проведем поразрядное вычитание.
  1010112
-
      11012
  ----------
    111102
Рассмотрим процесс вычитания двоичных чисел подробно.

Разряды чисел	5	4	3	2	1	0
Уменьшаемое	1	0	1	0	1	1
Вычитаемое			1	1	0	1
Разность		1	1	1	1	0

а) Начинаем вычитание с нулевого разряда. 1-1=0. В нулевом разряде разности запишем 0.

б) В первом разряде 1-0=1. 1 запишем в первом разряде разности.

в) Второй разряд. Вычитание 0-1 в пределах второго разряда провести нельзя, поэтому обращаемся к третьему разряду уменьшаемого. 1 из третьего разряда во втором дает две единицы (1+1). Поскольку (1+1)-1=1, во втором разряде разности запишем 1. 

г) Третий разряд. 1 из третьего разряда перешла во второй, поэтому в третьем разряде уменьшаемого в данный момент записан 0. Для того, чтобы можно было провести вычитание в третьем разряде, необходимо "занять" 1 в четвертом разряде. Но там стоит 0. Обращаемся к пятому разряду. 1 из пятого разряда при переходе в четвертый дает две единицы (1+1). Одна 1 остается в четвертом разряде, а другая переходит в третий и там также дает две 1 (1+1). Теперь можно провести вычитание в третьем разряде. (1+1)-1=1. Запишем 1 в третьем разряде разности.

д) В четвертом разряде уменьшаемого числа имеется 1, пришедшая из пятого разряда, запишем ее в четвертом разряде разности. 

е) Из пятого разряда уменьшаемого числа 1 ушла в четвертый, поэтому в пятом разряде суммы ничего не пишем (в начале числа можно записать один 0 или несколько, они не являются значащими, то есть 00011110=011110=11110).

 

УМНОЖЕНИЕ

Правила умножения двоичных чисел.

а) 0·0=0
б) 1·0=0
в) 0·1=0
г) 1·1=1

Пример 6.
Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 102.
Запишем эти числа столбиком и проведем последовательное умножение, а затем поразрядное сложение полученных чисел.
  1012

х
    102

  ----------
  000

+

101

-------- 

10102

При умножении больших чисел следует аккуратно записывать промежуточные слагаемые, сдвигая каждое следующее число влево на один разряд. При сложении трех и более чисел надо тщательно следить за переходом чисел в левые разряды, помнить при этом, что одну 1 старшего (левого) разряда дают две 1 младшего (правого) разряда.

 

ДЕЛЕНИЕ

Деление двоичных чисел основано на сравнении остатка от деления с делителем при последовательном вычитании и сдвиге чисел вправо. 

Пример 7 .
Число 11112 разделить на 112.

 

После первого вычитания остаток равен 0. После записи первой 1 во втором уменьшаемом в частном записываем 0, поскольку 1 нельзя разделить на 11. Далее из делимого сносим вторую 1 во второе уменьшаемое и производим второе вычитание, которое дает 1 в нулевом разряде частного. Результат - частное от деления числа 11112 на 112 равно 1012 .